南宋数学家秦九韶简介 秦九韶算法 秦九韶公式正

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秦九韶是南宋著名数学家、官员,与李冶、杨辉、朱世杰合称“宋元数学四大家”。秦九韶担任过琼州知府、司农丞等职,对星象、算术、音律、诗词等方面都有研究,著有《数书九章》,他发明“秦九韶算法”、三斜求积术,推导“秦九韶公式”、正负开方术等,对数学研究有着世界意义。生平简介 秦九韶,字道古。普州安岳人,祖籍鲁郡。南宋嘉定元年生;约景定二年卒于梅州。中国古代数学家。 秦九韶其父秦季栖,进士出身,官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年,秦九韶考中进士,先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官,1261年左右被贬至梅州,不久死于任所。他在政务之余,对数学进行潜心钻研,并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料,进行分析、研究。 宋淳祜四至七年(1244至1247),他在为母亲守孝时,把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑,写成了闻名的巨著《数学九章》,并创造了“大衍求一术”。被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”,被称为“秦九韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程,几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。 秦九韶祖籍鲁郡,其父秦季槱,字宏父,绍熙四年进士,后任巴州守.嘉定十二年三月,兴元军士张福、莫简等发动兵变,入川后攻取利州、阆州、果州、遂宁、普州等地.在哗变军队进占巴州时,秦季槱弃城逃走,携全家辗转抵达南宋都城临安。在临安,秦季槱曾任工部郎中和秘书少监等官职。宝庆元年六月,被任命为潼川知府,返回四川。 秦九韶自幼生活在家乡,18岁时曾“在乡里为义兵首”,后随父亲移居京部。他是一位非常聪明的人,处处留心,好学不倦。其父任职工部郎中和秘书少监期间,正是他努力学习和积累知识的时候。工部郎中掌管营建,而秘书省则掌管图书,其下属机构设有太史局,因此,他有机会阅读大量典籍,并拜访天文历法和建筑等方面的专家,请教天文历法和土木工程问题,甚至可以深入工地,了解施工情况.他又曾向一位精通数学的隐士学习数学.他还向著名词人李刘学习骈俪诗词,达到较高水平。通过这一阶段的学习,秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者,时人说他“性极机巧,星象、音律、算术,以至营造等事,无不精究”,“游戏、毬、马、弓、剑,莫不能知。” 1225年,秦九韶随父亲至潼川,担任过一段时间的县尉。数年后,李刘曾邀请他到南宋国史院校勘书籍文献,但未成行。端平三年元兵攻入四川,嘉陵江流域战乱仍频,秦九韶不得不经常参与军事活动。他后来在《数书九章》序中写道:“际时狄患,历岁遥塞,不自意全于矢石间,尝险罹忧,荏苒十祀,心槁气落”,真实地反映了这段动荡的生活。由于元兵进逼和溃卒骚乱,潼川已难以安居,于是他再度出川东下,先后担任过蕲州通判及和州守,最后定居湖州。秦九韶在任和州守期间,利用职权贩盐,强行卖给百姓,从中牟利。定居湖州后,所建住宅“极其宏敞”,“后为列屋,以处秀姬、管弦”。据载,他在湖州生活奢华,“用度无算”。淳祐四年八月,秦九韶以通直郎为建康府通判,十一月因母丧离任,回湖州守孝。在此期间,他专心致志研究数学,于淳祐七年九月完成数学名著《数书九章》。由于在天文历法方面的丰富知识和成就,他曾受到皇帝召见,阐述自己的见解,并呈有奏稿和《数学大略》。 宝祐二年,秦九韶回到建康,改任沿江制置使参议,不久去职。此后,他极力攀附和贿赂当朝权贵贾似道,得于宝祐六年任琼州守,但三个月后被免职。同时代的刘克庄说秦九韶“到郡仅百日许,郡人莫不厌其贪暴,作卒哭歌以快其去”,周密亦说他“至郡数月,罢归,所携甚富”。看来,由于他在琼州的贪暴,百姓极为不满。秦九韶从琼州回到湖州后,投靠吴潜,得到吴潜赏识,两人关系甚密。吴潜曾相继在开庆元年拟任以司农寺丞,景定元年拟任以知临江军,都因遭到激烈反对而作罢。在这段时间里,秦九韶热衷于谋求官职,追逐功名利禄,在科学上没有显著成绩。在南宋统治集团内部的激烈斗争中,吴潜被罢官贬谪,秦九韶也受到牵连。约在景定二年,他被贬至梅州做地方官,“在梅治政不辍”,不久便死于任所。《宋史》无传。 秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法,提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”,达到了当时世界数学的最高水平。 安岳修建的秦九韶纪念馆,恢宏壮观,雄伟气派。秦九韶算法 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。在西方被称作霍纳算法。秦九韶(约公元1202年-1261年),字道古,南宋末年人,出生于鲁郡。 一般地,一元n次多项式的求值需要经过2n-1次乘法和n次加法,而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工计算时,一次大大简化了运算过程。秦九韶公式 秦九韶还创用了“三斜求积术”等,给出了已知三角形三边求三角形面积公式,与古希腊数学家海伦(Heron,公元50年前后)公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数,如筑土问题中的“坚三穿四壤五,粟率五十,墙法半之”等,即使对当前仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法,至今仍有意义。人物评价 秦九韶是一位既重视理论又重视实践,既善于继承又勇于创新,既关心国计民生,体察民间疾苦,主张施仁政,又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》,是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页,对后世数学发展产生了广泛的影响。秦九韶独立推出了三斜求积公式,它填补了我国传统数学的一个空白,从中可以看到我国古代已具有很高的数学水平。清代著名数学家陆心源(1834-1894)称赞说:“秦九韶能于举世不谈算法之时,讲求绝学,不可谓非豪杰之士。”德国著名数学史家M.康托尔(Cantor,1829-1920)高度评价了大衍求一术,他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G·Sarton,1884-1956)说过,秦九韶是“他那个民族,他那个时代,并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”。

秦九韶,南宋官员、数学家,与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古,汉族,生于普州安岳。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学,历任琼州知府、司农丞,后遭贬,卒于梅州任所,1247年完成著作《数书九 ... 秦九韶,南宋官员、数学家,与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古,汉族,生于普州安岳。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学,历任琼州知府、司农丞,后遭贬,卒于梅州任所,1247年完成著作《数书九章》,其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献,表述的一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法-正负开方术,即开高次方和解高次方程,领先英国霍纳五百余年。秦九韶,字道古。普州安岳(今四川安岳)人。南宋嘉定元年(1208年)生;约景定二年(1261年)卒于梅州。中国古代数学家。秦九韶其父秦季栖,进士出身,官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年,秦九韶考中进士,先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官,1261年左右被贬至梅州,不久死于任所。他在政务之余,对数学进行潜心钻研,并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料,进行分析、研究。 宋淳祜四至七年,他在为母亲守孝时,把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑,写成了闻名的巨著《数学九章》,并创造了大衍求一术。这不仅在当时处于世界领先地位,在近代数学和现代电子计算设计中,也起到了重要作用,被称为中国剩余定理。他所论的正负开方术,被称为秦九韶程序。世界各国从小学、中学到大学的数学课程,几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果,比英国数学家取得的成果要早500多年。秦九韶祖籍鲁郡(今河南范县),其父秦季槱,字宏父,绍熙四年(1193)进士,后任巴州(今四川巴中)守.嘉定十二年(1219)三月,兴元(今陕西汉中)军士张福、莫简等发动兵变,入川后攻取利州(今广元)、阆州(今阆中)、果州(今南充)、遂宁(今遂宁)、普州(今安岳)等地.在哗变军队进占巴州时,秦季槱弃城逃走,携全家辗转抵达南宋都城临安(今杭州)。在临安,秦季槱曾任工部郎中和秘书少监等官职。宝庆元年(1225)六月,被任命为潼川知府,返回四川。秦九韶自幼生活在家乡,18岁时曾在乡里为义兵首,后随父亲移居京部。他是一位非常聪明的人,处处留心,好学不倦。其父任职工部郎中和秘书少监期间,正是他努力学习和积累知识的时候。工部郎中掌管营建,而秘书省则掌管图书,其下属机构设有太史局,因此,他有机会阅读大量典籍,并拜访天文历法和建筑等方面的专家,请教天文历法和土木工程问题,甚至可以深入工地,了解施工情况.他又曾向隐君子学习数学.他还向著名词人李刘学习骈俪诗词,达到较高水平。通过这一阶段的学习,秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者,时人说他性极机巧,星象、音律、算术,以至营造等事,无不精究,游戏、毬、马、弓、剑,莫不能知。1225年,秦九韶随父亲至潼川,担任过一段时间的县尉。数年后,李刘曾邀请他到南宋国史院校勘书籍文献,但未成行。端平三年(1236)元兵攻入四川,嘉陵江流域战乱仍频,秦九韶不得不经常参与军事活动。他后来在《数书九章》序中写道:际时狄患,历岁遥塞,不自意全于矢石间,尝险罹忧,荏苒十祀,心槁气落,真实地反映了这段动荡的生活。由于元兵进逼和溃卒骚乱,潼川已难以安居,于是他再度出川东下,先后担任过蕲州(今湖北蕲春)通判及和州(今安徽和县)守,最后定居湖州(今浙江吴兴)。秦九韶在任和州守期间,利用职权贩盐,强行卖给百姓,从中牟利。定居湖州后,所建住宅极其宏敞,后为列屋,以处秀姬、管弦。据载,他在湖州生活奢华,用度无算。淳祐四年(1244)八月,秦九韶以通直郎为建康府(今江苏南京)通判,十一月因母丧离任,回湖州守孝。在此期间,他专心致志研究数学,于淳祐七年(1247)九月完成数学名著《数书九章》。由于在天文历法方面的丰富知识和成就,他曾受到皇帝召见,阐述自己的见解,并呈有奏稿和《数学大略》(即《数书九章》)。宝祐二年(1254),秦九韶回到建康,改任沿江制置使参议,不久去职。此后,他极力攀附和贿赂当朝权贵贾似道,得于宝祐六年(1258)任琼州守,但三个月后被免职。同时代的刘克庄说秦九韶到郡(琼州)仅百日许,郡人莫不厌其贪暴,作卒哭歌以快其去,周密亦说他至郡数月,罢归,所携甚富。看来,由于他在琼州的贪暴,百姓极为不满。秦九韶从琼州回到湖州后,投靠吴潜,得到吴潜赏识,两人关系甚密。吴潜曾相继在开庆元年(1259)拟任以司农寺丞,景定元年(1260)拟任以知临江军(今江西清江),都因遭到激烈反对而作罢。在这段时间里,秦九韶热衷于谋求官职,追逐功名利禄,在科学上没有显著成绩。在南宋统治集团内部的激烈斗争中,吴潜被罢官贬谪,秦九韶也受到牵连。约在景定二年(1261),他被贬至梅州做地方官,在梅治政不辍,不久便死于任所。《宋史》无传。秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法,提出了相当完备的正负开方术和大衍求一术,达到了当时世界数学的最高水平。秦九韶,字道古,安岳普州人,嘉定元年春诞生在普州,绍定二年十月,秦九韶擢郪县县尉,绍定四年八月,秦九韶参与魏了翁平抑泸州蛮夷,葺其城楼橹雉堞,绍定五年八月乙丑进士,绍定六年,秦九韶在魏了翁带领吴潜等督视潼川府路、成都府路时认识吴潜,魏了翁和吴潜同秦九韶去拜望病中的许奕。端平三年一月,秦九韶擢升湖北蕲州通判,嘉熙元年年秋,秦九韶知和州嘉熙二年,秦九韶回临安丁父忧,秦九韶在杭州丁父忧期中,发现西溪两岸的群众过河很不方便,在西溪上设计修建一座桥,名西溪桥,数学家朱世杰为纪念秦九韶,将桥命名为道古桥。嘉熙三年,秦九韶在杭州处理完父亲的后事之后,便和母亲、妻子回到湖州西门外父亲早年备置的宅第,继续丁父忧。秦九韶在湖州丁父忧期中,与知庆元府吴潜交尤稔,着手改建父亲备置的住宅。淳祐三年六月,吴潜回湖州丁母忧,秦九韶与被夺官的吴潜交往更是密切。淳祐四年,秦九韶以通直郎出任建康府通判,十一月,秦九韶丁母忧,解官离任,回湖州为近八旬的母亲守灵,将潜心研究、用于实践中的数学成果,著书《数学大略》。此时,吴潜也在湖州丁母忧,两人交往甚犹。淳祐八年,《数学大略》得荐于朝。淳祐九年,目录学家陈振孙,在编书目时向秦九韶请教,淳祐十年年,秦九韶卸任建康通判,出任苏州州守。宝祐二年,九韶出任江宁府知府、沿江制置司参议官,管理江南十府粮道,宝祐四年去职。宝祐六年,秦九韶由贾似道荐于李曾伯为琼州守,凡数月去之。开庆元年十月,吴潜第二次入相,秦九韶有江东议幕之除。又除司农丞前去平江措置米餫,俱以事罢。景定元年,秦九韶知临江军。景定二年六月,秦九韶广东梅州知军州事。咸淳四年二月,秦九韶在梅州治政近六年左右,得知朝廷为吴潜追复爵禄,了却心中惦念的沉冤,在梅州辞世,时年六十一岁。秦九韶的数学成就基本表现在他写的《数书九章》之中。然而,这本书在当时并没有引起大的影响,稍后的杨辉、朱世杰都没有引征过秦九韶的成果。《数书九章》的主要内容偏重于数学的应用方面,全书八十一道题目都是结合当时的实际需要提出的问题。划时代巨著秦九韶潜心研究数学多年,在湖州守孝三年,所写成的世界数学名著《数书九章》,《癸辛杂识续集》称作《数学大略》,《永乐大典》称作《数书九章》。全书九章十八卷,九章九类:大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市物类,每类9题共计81题,该书内容丰富至极,上至天文、星象、历律、测候,下至河道、水利、建筑、运输,各种几何图形和体积,钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义,被誉为算中宝典。该书著述方式,大多由问曰、答曰、术曰、草曰四部分组成:问曰,是从实际生活中提出问题;答曰,给出答案;术曰,阐述解题原理与步骤;草曰,给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平,也标志着中世纪世界数学的最高水平。我国数学史家梁宗巨评价道:秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著,内容丰富,精湛绝伦。特别是大衍求一术及高次代数方程的数值解法,在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束,中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。大衍求一术中国古代求解一类大衍问题的方法。大衍问题源于《孙子算经》中的物不知数问题:今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。宋代数学家秦九韶在《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述,并称之为大衍求一术。九韶的大衍求一术,领先卡尔弗里德里希高斯554年,被康托尔称为最幸运的天才。秦九韶所发明的大衍求一术,即现代数论中一次同余式组解法,是中世纪世界数学的最高成就,比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年,被西方称为中国剩余定理。秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉,也为世界数学作出了杰出贡献。任意次方程秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年。秦九韶在《数书九章》中除大衍求一术外,还创拟了正负开方术,即任意高次方程的数值解法,也是中世纪世界数学的最高成就,秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳的同样解法早572年。秦九韶的正负方术,列算式时,提出商常为正,实常为负,从常为正,益常为负的原则,纯用代数加法,给出统一的运算规律,并且扩充到任何高次方程中去。一次方程组解法此外,秦九韶还改进了一次方程组的解法,用互乘对减法消元,与现今的加减消元法完全一致;同时秦九韶又给出了筹算的草式,可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢给出的,他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组,比秦九韶晚了312年,且理论上的不完整也逊于秦九韶。书中卷5田域类所列三斜求积公式与公元1世纪希腊海伦给出的公式殊途同归;卷7、卷8测望类又使《海岛算经》中的测望之术发扬光大,再添光彩。三斜求积术秦九韶还创用了三斜求积术等,给出了已知三角形三边求三角形面积公式,与海伦公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数,如筑土问题中的坚三穿四壤五,粟率五十,墙法半之等,即使对当前仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问推计互易中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法,至今仍有意义。数书九章》秦九韶在《数书九章》序言中说,数学大则可以通神明,顺性命;小则可以经世务,类万物。所谓通神明,即往来于变化莫测的事物之间,明察其中的奥秘;顺性命,即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看来,数学不仅是解决实际问题的工具,而且应该达到通神明,顺性命的崇高境界。《数书九章》全书共九章九类,十八卷,每类9题共计81个算题。另外,每类下还有颂词,词简意赅,用来记述本类算题主要内容、与国计民生的关系及其解题思路等。全书采用问题集的形式,并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学,还涉及自然现象和社会生活,成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。《数书九章》在数学内容上颇多创新。中国算筹式记数法及其演算式在此得以完整保存;自然数、分数、小数、负数都有专条论述,还第一次用小数表示无理根的近似值;卷1大衍类中灵活运用最大公约数和最小公倍数,并首创连环求等,借以求几个数的最小公倍数;在《孙子算经》中物不知数问题的基础上总结成大衍求一术,使一次同余式组的解法规格化、程序化,比西方高斯创用的同类方法早500多年,被公认为中国剩余定理;卷17市物类给出完整的方程术演算实录,书中还继贾宪增乘开方法进而作正负开方术,使之可以对任意次方程的有理根或无理根来求解,比19世纪英国霍纳的同类方法早500多年。除此之外,秦九韶还提出了秦九韶算法。直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法。该算法看似简单,其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时,利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算;对于计算机程序算法而言,加法比乘法的计算效率要高很多,因此该算法仍有极大的意义,用于减少CPU运算时间。《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展,概括了宋元时期中国传统数学的主要成就,标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民间广泛流传。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平,在世界数学史上占有崇高的地位秦九韶算法把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+L+a[1]x+a[0]改写成如下形式:f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+L+a[1]x+a[0]=(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+L+a[1])x+a[0]=((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+L+a[2])x+a[1])x+a[0]=L=(L((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+L+a[1])x+a[0].求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v[1]=a[n]x+a[n-1]然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v[2]=v[1]x+a[n-2]v[3]=v[2]x+a[n-3]......v[n]=v[n-1]x+a[0]这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。上述方法称为秦九韶算法。直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法剩余定理民间传说着一则故事韩信点兵。秦朝末年,楚汉相争。一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬,杀声震天。汉军本中国剩余定理中国剩余定理来已十分疲惫,这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排,结果多出2名;接着命令士兵5人一排,结果多出3名;他又命令士兵7人一排,结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布:我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是神仙下凡、神机妙算。于是士气大振。一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团。交战不久,楚军大败而逃。首先我们先求3、5、7、的最小公倍数105,乘以10,然後再加23,得1073。在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?按照今天的话来说:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.这样的问题,也有人称为韩信点兵.它形成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为中国剩余定理,这是由中国人首先提出的.① 有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?解:除以3余2的数有:2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23.它们除以12的余数是:2,5,8,11,2,5,8,11,.除以4余1的数有:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,.它们除以12的余数是:1, 5, 9, 1, 5, 9,.一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5.如果我们把①的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是 5+12整数,整数可以取0,1,2,,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把除以3余2,除以4余1两个条件合并成除以12余5一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.

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秦九韶(1208—1268),字道古,四川普州人,嘉定元年春诞生在普州,绍定二年十月,秦九韶擢郪县县尉,绍定四年八月,秦九韶参与魏了翁平抑泸州蛮夷,葺其城楼橹雉堞,绍定五年八月乙丑进士,绍定六年,秦九韶在魏了翁带领吴潜等督视潼川府路、成都府路时认识吴潜,魏了翁和吴潜同秦九韶去拜望病中的许奕。端平三年一月,秦九韶擢升湖北蕲州通判,嘉熙元年年秋,秦九韶知和州。嘉熙二年,秦九韶回临安丁父忧,秦九韶在杭州丁父忧期中,发现西溪两岸的群众过河很不方便,在西溪上设计修建一座桥,名“西溪桥”,数学家朱世杰为纪念秦九韶,将桥命名为“道古桥”。嘉熙三年,秦九韶在杭州处理完父亲的后事之后,便和母亲、妻子回到湖州西门外父亲早年备置的宅第,继续丁父忧。秦九韶在湖州丁父忧期中,与知庆元府吴潜交尤稔,着手改建父亲备置的住宅。淳祐三年六月,吴潜回湖州丁母忧,秦九韶与被夺官的吴潜交往更是密切。淳祐四年,秦九韶以通直郎出任建康府通判,十一月,秦九韶丁母忧,解官离任,回湖州为近八旬的母亲守灵,将潜心研究、用于实践中的数学成果,著书《数学大略》。此时,吴潜也在湖州丁母忧,两人交往甚犹。淳祐八年,《数学大略》得荐于朝。淳祐九年,目录学家陈振孙,在编书目时向秦九韶请教,淳祐十年年,秦九韶卸任建康通判,出任苏州州守。宝祐二年,九韶出任江宁府知府、沿江制置司参议官,管理江南十府粮道,宝祐四年去职。宝祐六年,秦九韶由贾似道荐于李曾伯为琼州守,凡数月去之。开庆元年十月,吴潜第二次入相,秦九韶有江东议幕之除。又除司农丞前去平江措置米餫,俱以事罢。景定元年,秦九韶知临江军(江西清江县西临江镇,南宋为临江军,辖清江、新喻、等县)。景定二年六月,秦九韶广东梅州知军州事。咸淳四年二月,秦九韶在梅州治政近六年左右,得知朝廷为吴潜追复爵禄,了却心中惦念的沉冤,在梅州辞世,时年六十一岁。 秦九韶的少年时代 一、秦九韶出生在南宋朝廷的一个宦官家庭 秦九韶出生在南宋的一个宦官家庭,父秦季槱,字宏父,普州人,绍熙四年,与乔行简、崔与之、陈亮等同年登进士第。庆元三年丁乙,秦季槱接替宇文子震出知潼川府,嘉泰四年癸亥,秦季槱回普州丁父忧,杨辅接替秦季槱知潼川府,开禧三年仲冬,秦季槱丁父忧除,奉诏回朝廷,任秘书省秘阁。嘉定五年六月,秦季槱接替刘光祖知巴州,很有可能,秦季槱此时才将母亲、妻子和秦九韶接到巴州团聚。嘉定十二年三月乙亥,兴元军士权兴等作乱,秦季槱守巴州失陷,他才和母亲、妻子、秦九韶回到临安。嘉定十五年后,擢升工部郎中、秘书少监兼国史院编修官、实录检讨官、直显谟阁,宝庆元年六月,以直显谟阁知潼川府,绍定二年五月,秦季槱以显谟阁奉祠临安府,许奕除宝谟阁直学士知潼川府。嘉熙二年,秦季槱在临安辞世。 二、九韶“早岁侍亲中都,因得访习于太史”的学习生活 秦季槱回朝廷相继做了工部郎中和秘书少监,给秦九韶提供了良好的学习环境。秦九韶充分利用父亲掌管天下城郭、宫室、舟车、器械、符印、钱币、山泽、苑囿、河渠之政、营造工程、皇家古今经籍图书、国史实录、天文历数之事等有利条件和机会,集中精力,向‘太史局的吴泽、靳大声、杨忠辅、刘孝荣等有学识的太史、官吏、学者学习,使之成为博学多能的青年学者。” 秦季槱三位同庚(同生于淳熙五年,即1178年)、同年登进士甲科的挚友许奕、魏了翁、真德秀,既是南宋敢于直面朝廷腐败,敢于抨击史弥远、贾似道等奸臣,主战抗击外来入侵的忠臣,又学识渊博,秦季槱比许奕、真德秀、魏了翁早六年入士及第,论年龄为长。他们四人同时立朝,政治倾向相同,都忠臣良相,有着特殊的四方关系,还是秦九韶的长者,秦季槱必然会恭请挚友为子师,督促秦九韶虚心向他们学习渊博精深的知识,三位长者对秦九韶的关心、呵护自然是不言而喻,且魏了翁,“少长,英悟绝出,日诵千余言,过目不再览,乡里称为神童。年十五,著韩愈论,抑扬顿挫,有作者风”。秦九韶年少“不闲於艺,因得访于太史,又尝从隐君子受数学”、“性极机巧,星象、音律、算术以至营造等事,无不精究”,两人少时天赋、性格极其相似,魏了翁必然更是喜欢和器重秦九韶,做他的良师益友。聪慧好学的秦九韶,不仅潜心向真德秀、魏了翁、许奕学习诗词、天文、祭祀、历法等知识,十分崇敬他们的刚直不阿的道德情操,学习他们对国事的忠悃,对奸臣的愤激。 秦九韶虚心向叶适学习哲学、文学、政论,尤其是叶适“强调‘道’存在于事物本身之中,‘物之所在,道则在焉’。提倡对事实作实际考察:‘夫与折衷天下之义理,必尽考详天下之事物而后不谬’”等思想对秦九韶影响很深。数年后,秦九韶“数数之传,以实为体”的论断经典,应该说是受叶适“夫与折衷天下之义理,必尽考详天下之事物而后不谬”思想的极大影响。或许就是叶适“‘道’存在于事物本身之中,‘物之所在,道则在焉’”这一哲学思想在数学上的演进。同时,秦九韶还虚心向杨简学习诗词、历法和哲学思想,尤其是“心即是道,宇宙的变化即人心的变化过程,以明心为修养之本”等哲学思想体悟很深。 秦九韶还拜李梅亭为师,学习骈俪、诗词、游戏、毬马、弓剑,后来李刘与秦九韶成为朋友,经常有来往。 秦九韶的数学启蒙之师是隐君子陈元靓。绍定三年之前,陈元靓已经有瘾君子之称,他和朱鉴等一起在临安的机会最多,他看的书极多,尤其是新书,对数学很有研究,到过文化发达的城市,居处距临安不远,去临安不是很困难,秦九韶拜师向他学习数学就是情理之中的事情,“朱熹、陈元靓都是道学家,或者说对秦九韶有影响,秦认为‘数与道非二本’的‘道’可能是通过瘾君子陈元靓学来的。 应该说:秦九韶随父亲在临安期间的数年间,已经把全部精力用在学习上。他正是这样通过向多方面的人学习,才逐渐成为一名学识广博的青年学者。 秦九韶的数学成就 宋理宗淳祐四年,十一月,秦九韶解官建康通判,回湖州丁母忧,一边为母亲守灵,一边把自己几十年勤奋学习、苦心钻研、实践、总结的数学成就结晶,精选出来的较有代表性的81个问题,分为9类,每类9题,成18卷,淳祐七年,世界最高水平的数学名著《数书九章》成书。 秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法,提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”,达到了当时世界数学的最高水平. 秦九韶在前人工作的基础上,提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正根的程序,亦称“正负开方术”,现称秦九韶法. 这也是“增乘开方法”的主要特点。有人说,计算机发明以后,解方程变得有趣了.确实是这样,秦九韶的高次方程数值解法,可以毫无困难地转化为计算机程序。在《数书九章》中,秦九韶列举了20多个解方程问题,次数最高达10次.除一般方法外,还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特 殊情形,并将其广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题.在西方,关于高次方程数值解法的探讨,经历了漫长的历史过程,直到1840年,意大利数学家P.鲁菲尼(Ruffini,1765-1822)才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数根的近似值问题,而1819年英国数学家W.G.霍纳(Horner,1786—1837)在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”中,才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法,后被称为“霍纳法”.秦九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。 秦九韶对于一次同余组解法的理论概括,是他在数学史上的另一杰出贡献.中算家对于一次同余式问题解法的研究是适应天文学家推算上元积年的需要而产生的.最早见于记载的一次同余问题是《孙子算经》中的“物不知数问题”:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几有何?”这相当于求解一次同余组。 秦九韶的大衍求一术与他的高次方程数值解法一样,简洁、明确、带有很强的机械性,其程序亦可毫无因难地转化为算法语言,用计算机来实现.在《数书九章》中,秦九韶通过大量例题,如“古历会积”、“治历演纪”“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等,展示了大衍求一术在解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题中的广泛应用.由于在许多问题中,模数Ai并非两两互素,而中国传统数学没有素数概念,所以将模数化为两两互素是相当困难的问题.秦九韶所设计的将模数比为两两互素的算法,尽管还不完善,但仍比较成功地解决了这一难题,有人称之为“没有素数的素数论”。综观他在求解一次同余组问题的各项成就,正如中科院研究员李文林、袁向东所说:“所有这些系统的理论,周密的考虑,即使以今天的眼光看来也很不简单,充分显示了秦九韶高超的数学水平和计算技巧。”在西方,最早接触一次同余式的是意大利数学家L.斐波那契(Fibonacci,约1170-1250).他在《算盘书》中给出了两个一次同余问题,但没有一般算法.直到18—19世纪,L.欧拉(Euler,1743)、G.F.高斯(Gauss,1801)才对一次同余组进行深入研究,重新获得与中国剩余定理相同的定理,并对模数两两互素的情形给出了严格证明。1852年,英国传教士、汉学家伟烈亚力(A.Wylie,1815-1887)发表《中国数学科学札记》(Jottings on the science of Chinese arithmetic),其中谈到了大衍求一术.从1856年到1876年,德国人L.马蒂生(Matthiessen,1830-1906)等西方学者又多次指出大衍求一术原理与高斯方法的一致性,从而更加引起了欧洲学者的瞩目.德国著名数学史家M.康托尔(Cantor,1829-1920)高度评价了大衍求一术,他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。从此,中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目,并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。《数书九章》中,除了前面提到的大衍求一术和正负开方术两项重要成就外,还记载了不少其他方面的成就.例如,他改进了线性方程组的解法,普遍应用互乘相消法代替传统的直除法,已同今天所用的方法完全一致;在开方中,他发展了刘徽开方不尽求微数的思想,最早使用十进小数来表示无理根的近似值;他对于《九章算术》和《海岛算经》的勾股测量术也多所阐发;他在几何方面的另一项杰出成果是“三斜求积术”,即已知三角形三边之长求其面积的公式。 《数书九章》的内容非常丰富,我们不仅可以找到数学和天文历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料,而且还可以从中了解到南宋时期户口增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等等社会经济领域的真实情况。 秦九韶的哲学思想和数学思想 关于秦九韶的哲学思想和数学思想,显然与宋代儒学中的道学学派一致。他明确指出“数与道非二本也”,再加上数学实践的切身体会,使他对于数学的重要性产生了较为清楚的认识。秦九韶高度评价数学的作用,反对轻贱数学的世俗看法。他说,数学研究“大则可以通神明,顺性命;小则可以经世务,类万物,讵容以浅近窥哉!” 秦九韶将数学的应用概括为大、小两个方面,实际上继承了中国传统数学思想关于数学的作用的论述。然而,秦九韶通过自己的数学研究实践,认识到“所谓通神明,顺性命,固肤末于见”,而将自己的才智专注于“经世务,类万物”的“小者”上,十分重视和注意搜求天文历法、生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题,“设为问答,以拟于用”,尽力满足社会实践的需要,并告诫人们要学好数学,精于计算,以避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等等不良后果。古今中外,许多人为文做事,尤其是在“神明”、“性命”这类问题上,常常不懂装懂,自欺欺人。秦九韶与此相反,坦诚地承认自己对“大者”的体会十分肤浅。在中国古代大数学家中,只有秦九韶在对数学的作用的认识上如此坦率,反映了他具有不慕虚荣、实事求是,“知之为知之,不知为不知”的科学精神。 《数书九章序》还集中体现了秦九韶关心国计民生,体察民间疾苦,反对政府和豪强的横征暴敛,主张施仁政,秦九韶恪守传统道德的恕道,将自心比人心,认为下层受欺压、盘剥的民众需要仁政,就像自己溺水需要救援,自己饥饿需要吃东西一样紧迫。同时,秦九韶不甘寂寞,在国难当头与乱世之中,在政治腐败、黑暗之时,不去避世免祸,而是企图通过“嗜进谋身”,以自己的知识为社会服务,他主张抗金、抗蒙,站在董槐、魏了翁、乔行简、崔与之、吴潜等抗战派一边,为抗金、抗蒙战争效力。尤其是深深卷入了统治集团的内部斗争,在投降派贾似道与吴潜的斗争中,他属于抗战派吴潜的营垒,引起了贾似道、刘克庄、周密辈的嫉恨,被吴潜冤案株连,遭到诋毁,贬逐;刘克庄、周密的文字又流传到后世,人们不察,铸成了千古奇冤。现在是该将被颠倒的秦九韶的形象颠倒过来的时候了。 总之,秦九韶是一位既重视理论又重视实践,既善于继承又勇于创新,既关心国计民生,体察民间疾苦,主张施仁政,又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》,是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页,对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源(1834-1894)称赞说:“秦九韶能于举世不谈算法之时,讲求绝学,不可谓非豪杰之士。” 德国著名数学史家M.康托尔(Cantor,1829-1920)高度评价了大衍求一术,他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G•Sarton,1884-1956)说过,秦九韶是“他那个民族,他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

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